Bahar
New member
P’nin Değili ve Q Neye Eşittir? Bir Akşamın İçinde Mantığı Yeniden Keşfetmek
Geçenlerde bir arkadaş grubunda çok basit görünen bir soru ortaya atıldı: “P’nin değili ve q neye eşittir?”
Masada kahveler vardı, birinin bilgisayarında yarım kalmış bir sunum açıktı, diğerinin elinde matematik defteri duruyordu. Ben ise sorunun bu kadar kısa olmasına rağmen neden herkesin birkaç saniyeliğine sustuğunu düşünüyordum.
Çünkü bazı soruların cevabı tek satırdır ama o tek satırı gerçekten anlamak için zihnimizde küçük bir yolculuk yapmamız gerekir.
“P’nin değili” dediğimiz şey nedir?
“Ve q” ne anlama gelir?
Sonunda ortaya çıkan ifade neden ¬p ∧ q olur?
O akşam bunu yalnızca formül olarak anlatmak yerine küçük bir hikâyeye dönüştürmeye karar verdik. Belki siz de hikâyenin bir yerinde kendinizi bulursunuz.
Kütüphanedeki Tahta ve İlk Soru
Saat neredeyse dokuzdu. Üniversitenin eski kütüphanesinde sınava hazırlanan dört kişi kalmıştık: Deniz, Murat, Ece ve ben.
Murat tahtanın önünde duruyordu. Problemleri hızlı çözmeyi seven biriydi. Bir soruyu gördüğünde önce değişkenleri belirler, ardından hangi işlem yapılacaksa doğrudan ona geçerdi.
Ece ise farklı düşünürdü. Bir ifadenin yalnızca “neye eşit olduğunu” değil, gerçek hayatta ne anlatabileceğini sorardı.
O gece Murat tahtaya iki cümle yazdı:
p: “Kütüphane açıktır.”
q: “Öğrenciler içeridedir.”
Sonra bize döndü.
“P’nin değili ve q?”
Murat hemen yazdı:
¬p ∧ q
Ben gülümsedim.
“Peki bunu gerçekten anladık mı?”
Ece sandalyeden kalktı.
“Bence hayır,” dedi. “Formülü yazdık ama cümlenin ne söylediğini henüz konuşmadık.”
İşte hikâye tam burada başladı.
Önce “P’nin Değili”ni Anlamak
Bir önerme düşünelim:
p: Kütüphane açıktır.
Bunun değili:
¬p: Kütüphane açık değildir.
Buradaki “değil”, p'nin doğruluk değerini tersine çevirir.
p doğruysa ¬p yanlıştır.
p yanlışsa ¬p doğrudur.
Aslında çok tanıdık bir düşünme biçimidir bu. Bir arkadaşınız size “Bugün toplantı var” dediğinde ve bunun doğru olmadığını söylediğinizde, “Bugün toplantı yok” demiş olursunuz.
Mantık, günlük hayatta yaptığımız bu tür ayrımları daha kesin bir dile dönüştürür.
Modern önermeler mantığında ¬, ∧, ∨ gibi semboller önermeler arasındaki ilişkileri göstermek için kullanılır. Önermeler mantığının sistematik gelişimi özellikle modern dönemde hız kazanmış olsa da doğru çıkarım fikrinin kökleri çok daha eskiye, Aristoteles'e kadar uzanır.
Stanford Felsefe Ansiklopedisi
+1
Şimdi ikinci parçaya gelelim.
q.
Bizim hikâyemizde:
q: Öğrenciler içeridedir.
Dolayısıyla elimizde iki ifade var:
¬p: Kütüphane açık değildir.
q: Öğrenciler içeridedir.
Bunları “ve” ile birleştiriyoruz.
Sonuç:
¬p ∧ q
Yani:
“Kütüphane açık değildir ve öğrenciler içeridedir.”
İlk bakışta biraz tuhaf görünüyor, değil mi?
Murat kaşlarını kaldırdı.
“Kapalı bir kütüphanede öğrenciler nasıl içeride olabilir?”
Ece hemen cevap verdi:
“Olabilir. Kütüphane kapanmış olabilir ama içeride sınav görevlileri, çalışanlar ya da çıkmakta olan öğrenciler bulunabilir.”
Murat sustu.
İşte önemli nokta buydu.
Bir mantık ifadesinin anlamını değerlendirirken kendi varsayımlarımızı ifadeye eklememeliydik.
“Ve” Kelimesi Neden Bu Kadar Önemli?
“Ve” bağlacı mantıkta küçücük bir kelime olmasına rağmen oldukça katı bir kurala sahiptir.
p ∧ q ifadesinin doğru olabilmesi için hem p'nin hem de q'nun doğru olması gerekir.
Örneğin:
p = doğru
q = doğru
ise:
p ∧ q = doğru
Ama p yanlışsa ve q doğru olsa bile:
p ∧ q = yanlış
Aynı durum p doğru, q yanlış olduğunda da geçerlidir.
İkisinden biri bile yanlışsa “ve” bağlacıyla oluşturulan bütün ifade yanlış olur.
Bu yüzden:
¬p ∧ q
ifadesinin doğru olması için iki şart aynı anda gerçekleşmelidir:
p yanlış olmalı.
q doğru olmalı.
Bizim örneğimizde:
p = “Kütüphane açıktır.”
q = “Öğrenciler içeridedir.”
Buna göre:
¬p ∧ q = “Kütüphane açık değildir ve öğrenciler içeridedir.”
ifadesidir.
Murat tahtaya dört satırlık bir tablo çizdi.
p q ¬p ¬p ∧ q
D D Y Y
D Y Y Y
Y D D D
Y Y D Y
“Demek ki,” dedi, “son sütunda yalnızca p yanlış, q doğru olduğunda D var.”
“Tam olarak,” dedim.
Ece ise tabloya bakarak başka bir soru sordu:
“Peki bu kadar basit bir ifade neden bize bu kadar çok şey öğretiyor?”
Kimse hemen cevap vermedi.
Mantığın Tarihsel Yolculuğunda Küçük Bir Durak
Bu soruyu biraz daha geniş düşününce ilginç bir tarih ortaya çıkıyor.
İnsanlar binlerce yıldır doğru düşünmenin, çelişkisiz konuşmanın ve bir iddiadan başka bir sonuca nasıl geçileceğinin yollarını arıyor.
Aristoteles'in mantık çalışmaları bunun en önemli erken örneklerinden biridir. Aristoteles, çıkarımların hangi koşullarda zorunlu olarak sonuç verdiğini sistematik biçimde incelemişti. Daha sonra mantık, farklı gelenekler içinde gelişmeye devam etti ve 19. yüzyıldan itibaren matematiksel ve sembolik yaklaşımlar büyük bir dönüşüm yaşadı.
Stanford Felsefe Ansiklopedisi
+1
Bugün tahtaya yazdığımız ¬p ∧ q gibi bir ifade, bu uzun düşünce tarihinin çok küçük bir parçası.
Bir bakıma, binlerce yıllık “Doğru düşünmenin kuralı nedir?” sorusunun modern sembollerle yazılmış kısa bir cümlesine bakıyoruz.
Ve burada toplumsal bir taraf da var.
Çünkü insanlar yalnızca matematik problemlerini çözmek için mantık kullanmaz. Mahkemelerde kanıtları değerlendirirken, bilim insanları hipotezleri test ederken, mühendisler sistem tasarlarken, doktorlar belirtiler arasında bağlantı kurarken ve sıradan insanlar günlük kararlar verirken sürekli olarak koşullar arasında ilişki kurar.
Mantık, hayatın dışında duran soğuk bir matematik alanı değildir.
Hayatın içindeki düşünme biçimlerini daha görünür hale getirir.
Murat ve Ece’nin Farklı Çözüm Yolları
O gece bizi asıl düşündüren şey formül değil, formülü çözme biçimlerimizdi.
Geçenlerde bir arkadaş grubunda çok basit görünen bir soru ortaya atıldı: “P’nin değili ve q neye eşittir?”
Masada kahveler vardı, birinin bilgisayarında yarım kalmış bir sunum açıktı, diğerinin elinde matematik defteri duruyordu. Ben ise sorunun bu kadar kısa olmasına rağmen neden herkesin birkaç saniyeliğine sustuğunu düşünüyordum.
Çünkü bazı soruların cevabı tek satırdır ama o tek satırı gerçekten anlamak için zihnimizde küçük bir yolculuk yapmamız gerekir.
“P’nin değili” dediğimiz şey nedir?
“Ve q” ne anlama gelir?
Sonunda ortaya çıkan ifade neden ¬p ∧ q olur?
O akşam bunu yalnızca formül olarak anlatmak yerine küçük bir hikâyeye dönüştürmeye karar verdik. Belki siz de hikâyenin bir yerinde kendinizi bulursunuz.
Kütüphanedeki Tahta ve İlk Soru
Saat neredeyse dokuzdu. Üniversitenin eski kütüphanesinde sınava hazırlanan dört kişi kalmıştık: Deniz, Murat, Ece ve ben.
Murat tahtanın önünde duruyordu. Problemleri hızlı çözmeyi seven biriydi. Bir soruyu gördüğünde önce değişkenleri belirler, ardından hangi işlem yapılacaksa doğrudan ona geçerdi.
Ece ise farklı düşünürdü. Bir ifadenin yalnızca “neye eşit olduğunu” değil, gerçek hayatta ne anlatabileceğini sorardı.
O gece Murat tahtaya iki cümle yazdı:
p: “Kütüphane açıktır.”
q: “Öğrenciler içeridedir.”
Sonra bize döndü.
“P’nin değili ve q?”
Murat hemen yazdı:
¬p ∧ q
Ben gülümsedim.
“Peki bunu gerçekten anladık mı?”
Ece sandalyeden kalktı.
“Bence hayır,” dedi. “Formülü yazdık ama cümlenin ne söylediğini henüz konuşmadık.”
İşte hikâye tam burada başladı.
Önce “P’nin Değili”ni Anlamak
Bir önerme düşünelim:
p: Kütüphane açıktır.
Bunun değili:
¬p: Kütüphane açık değildir.
Buradaki “değil”, p'nin doğruluk değerini tersine çevirir.
p doğruysa ¬p yanlıştır.
p yanlışsa ¬p doğrudur.
Aslında çok tanıdık bir düşünme biçimidir bu. Bir arkadaşınız size “Bugün toplantı var” dediğinde ve bunun doğru olmadığını söylediğinizde, “Bugün toplantı yok” demiş olursunuz.
Mantık, günlük hayatta yaptığımız bu tür ayrımları daha kesin bir dile dönüştürür.
Modern önermeler mantığında ¬, ∧, ∨ gibi semboller önermeler arasındaki ilişkileri göstermek için kullanılır. Önermeler mantığının sistematik gelişimi özellikle modern dönemde hız kazanmış olsa da doğru çıkarım fikrinin kökleri çok daha eskiye, Aristoteles'e kadar uzanır.
Stanford Felsefe Ansiklopedisi
+1
Şimdi ikinci parçaya gelelim.
q.
Bizim hikâyemizde:
q: Öğrenciler içeridedir.
Dolayısıyla elimizde iki ifade var:
¬p: Kütüphane açık değildir.
q: Öğrenciler içeridedir.
Bunları “ve” ile birleştiriyoruz.
Sonuç:
¬p ∧ q
Yani:
“Kütüphane açık değildir ve öğrenciler içeridedir.”
İlk bakışta biraz tuhaf görünüyor, değil mi?
Murat kaşlarını kaldırdı.
“Kapalı bir kütüphanede öğrenciler nasıl içeride olabilir?”
Ece hemen cevap verdi:
“Olabilir. Kütüphane kapanmış olabilir ama içeride sınav görevlileri, çalışanlar ya da çıkmakta olan öğrenciler bulunabilir.”
Murat sustu.
İşte önemli nokta buydu.
Bir mantık ifadesinin anlamını değerlendirirken kendi varsayımlarımızı ifadeye eklememeliydik.
“Ve” Kelimesi Neden Bu Kadar Önemli?
“Ve” bağlacı mantıkta küçücük bir kelime olmasına rağmen oldukça katı bir kurala sahiptir.
p ∧ q ifadesinin doğru olabilmesi için hem p'nin hem de q'nun doğru olması gerekir.
Örneğin:
p = doğru
q = doğru
ise:
p ∧ q = doğru
Ama p yanlışsa ve q doğru olsa bile:
p ∧ q = yanlış
Aynı durum p doğru, q yanlış olduğunda da geçerlidir.
İkisinden biri bile yanlışsa “ve” bağlacıyla oluşturulan bütün ifade yanlış olur.
Bu yüzden:
¬p ∧ q
ifadesinin doğru olması için iki şart aynı anda gerçekleşmelidir:
p yanlış olmalı.
q doğru olmalı.
Bizim örneğimizde:
p = “Kütüphane açıktır.”
q = “Öğrenciler içeridedir.”
Buna göre:
¬p ∧ q = “Kütüphane açık değildir ve öğrenciler içeridedir.”
ifadesidir.
Murat tahtaya dört satırlık bir tablo çizdi.
p q ¬p ¬p ∧ q
D D Y Y
D Y Y Y
Y D D D
Y Y D Y
“Demek ki,” dedi, “son sütunda yalnızca p yanlış, q doğru olduğunda D var.”
“Tam olarak,” dedim.
Ece ise tabloya bakarak başka bir soru sordu:
“Peki bu kadar basit bir ifade neden bize bu kadar çok şey öğretiyor?”
Kimse hemen cevap vermedi.
Mantığın Tarihsel Yolculuğunda Küçük Bir Durak
Bu soruyu biraz daha geniş düşününce ilginç bir tarih ortaya çıkıyor.
İnsanlar binlerce yıldır doğru düşünmenin, çelişkisiz konuşmanın ve bir iddiadan başka bir sonuca nasıl geçileceğinin yollarını arıyor.
Aristoteles'in mantık çalışmaları bunun en önemli erken örneklerinden biridir. Aristoteles, çıkarımların hangi koşullarda zorunlu olarak sonuç verdiğini sistematik biçimde incelemişti. Daha sonra mantık, farklı gelenekler içinde gelişmeye devam etti ve 19. yüzyıldan itibaren matematiksel ve sembolik yaklaşımlar büyük bir dönüşüm yaşadı.
Stanford Felsefe Ansiklopedisi
+1
Bugün tahtaya yazdığımız ¬p ∧ q gibi bir ifade, bu uzun düşünce tarihinin çok küçük bir parçası.
Bir bakıma, binlerce yıllık “Doğru düşünmenin kuralı nedir?” sorusunun modern sembollerle yazılmış kısa bir cümlesine bakıyoruz.
Ve burada toplumsal bir taraf da var.
Çünkü insanlar yalnızca matematik problemlerini çözmek için mantık kullanmaz. Mahkemelerde kanıtları değerlendirirken, bilim insanları hipotezleri test ederken, mühendisler sistem tasarlarken, doktorlar belirtiler arasında bağlantı kurarken ve sıradan insanlar günlük kararlar verirken sürekli olarak koşullar arasında ilişki kurar.
Mantık, hayatın dışında duran soğuk bir matematik alanı değildir.
Hayatın içindeki düşünme biçimlerini daha görünür hale getirir.
Murat ve Ece’nin Farklı Çözüm Yolları
O gece bizi asıl düşündüren şey formül değil, formülü çözme biçimlerimizdi.